Übungsblatt 1

Aufgabe 1

Im Statistischen Jahrbuch 2009 des Statistischen Bundesamtes sind für das Jahr 2008 die folgenden Angaben veröffentlicht:

Festnetzhauptanschlüsse je 1000 Einwohner in Deutschland: 624
Mobilfunkteilnehmer/-innen je 1000 Einwohner in Deutschland: 1299

Beurteilen Sie auf der Grundlage (nur) dieser Angaben kritisch die folgenden Behauptungen für das Jahr 2008:

  1. In Deutschland telefonieren etwa doppelt so viele Einwohner mobil als über Festnetzanschlüsse.
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    Generell gilt: Keine einzige der Behauptungen lässt sich mit absoluter Gewissheit auf Grundlage der veröffentlichten Angaben bestätigen.
    Die erste Behauptung ist ganz sicher falsch. Natürlich telefonieren höchstens 1000 von 1000 Einwohnern mobil, die Kennzahl von 1299 Mobilfunkteilnehmern/-innen pro 1000 Einwohner bedeutet lediglich, dass es auch Einwohner mit mehr als einem Mobilfunkgerät geben muss. Dass pro angemeldetem Festnetzhauptanschluss (zumindest im Durchschnitt) auch wenigstens ein Einwohner im Festnetz telefoniert, ist wohl unumstritten.
  2. In Deutschland werden etwa doppelt so viele Telefonate mit Mobilfunktelefonen als mit Festnetztelefonen geführt.
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    Die Anzahl der Gespräche wird von den veröffentlichten Angaben überhaupt nicht berührt, die Behauptung kann also weder bestätigt noch verworfen werden.
  3. In Deutschland telefoniert zwar jeder Einwohner mobil, aber weniger als zwei Drittel aller Einwohner im Festnetz.
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    Ganz sicher telefonierte im Jahr 2008 nicht jeder Einwohner in Deutschland mobil, aus der Kennzahl von 1299 Mobilfunkteilnehmern/-innen pro 1000 Einwohner lässt sich keineswegs ableiten, dass jeder Einwohner mindestens ein Mobilfunkgerät besitzen muss. Außerdem kann aus der Kennzahl von 624 Festnetzhauptanschlüssen pro 1000 Einwohner auch nicht geschlossen werden, dass weniger als zwei Drittel der Einwohner im Festnetz telefonieren: Festnetzanschlüsse werden im privaten Sektor in der Regel pro Haushalt, zu dem häufig mehr als nur ein Einwohner zählt, betrieben. Die Behauptung ist also insgesamt sicherlich falsch.
  4. In Deutschland telefonieren mehr Einwohner mobil als im Festnetz.
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    Siehe Teil a. und c.: Da der Wert 1299 die tatsächliche Anzahl von mobil telefonierenden Einwohnern je 1000 Einwohner mit Sicherheit deutlich überschätzt und der Wert 624 die tatsächliche Anzahl im Festnetz wegen einer durchschnittlichen Haushaltsgröße, die sicher über 1 liegt, unterschätzt, ist nicht klar, ob diese Behauptung wahr oder falsch ist.
  5. In Deutschland sind mehr Handys als Festnetztelefone in Betrieb.
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    Ebenfalls unklar, denn weder die durchschnittliche Anzahl von Festnetztelefonen pro Anschluss noch der Anteil der — trotz abgeschlossener Verträge oder aktivierter Prepaid-Konten — inaktiven SIM-Karten ist bekannt.

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Aufgabe 2

Geben Sie bei den folgenden Merkmalen an, welches Skalierungsniveau (nominalskaliert, ordinalskaliert oder kardinalskaliert) vorliegt, ob das Merkmal qualitativ oder quantitativ ist, und gegebenenfalls, ob es sich um ein diskretes oder stetiges Merkmal handelt.

  1. Brutto-Jahresgehalt 2016
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    kardinalskaliert, quantitativ, (eher) stetig
  2. Aktuell ausgeübter Beruf
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    nominalskaliert, qualitativ
  3. Höchster erreichter Bildungsabschluss
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    ordinalskaliert, qualitativ
  4. Nationalität
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    nominalskaliert, qualitativ
  5. Bremsweg eines PKW (bei vorgegebenen Randbedingungen)
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    kardinalskaliert, quantitativ, (eher) stetig
  6. Größe der Wohnung in qm
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    kardinalskaliert, quantitativ, (eher) stetig
  7. Anzahl der Zimmer in Wohnung
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    kardinalskaliert, quantitativ diskret
  8. Schuhgröße (!)
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    kardinalskaliert, quantitativ diskret
    (Größe in gängigen Schuhgrößensystemen (EU/US/UK) hängt tatsächlich linear von der Innenschuhlänge ab, d.h. die Längendifferenz zwischen Schuhgröße 42 und 43 stimmt mit der Differenz z.B. zwischen 37 und 38 überein.)

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Aufgabe 3

Bei einer Umfrage wurden 50 Autofahrer befragt, an wieviel Tagen sie in der vergangenen Woche ihr Auto benutzten. Das Ergebnis der Umfrage ist die folgende (bereits aufsteigend sortierte) Urliste:

1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7

  1. Geben Sie die Menge \(M\) der vorstellbaren Merkmalswerte und die Menge \(A\) der aufgetretenen Merkmalswerte an.
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    \(M=\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}\), \(A=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}\)
  2. Erstellen Sie eine Tabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten.
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    \(a_j\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(\Sigma\)
    \(h(a_j)\) \(1\) \(8\) \(7\) \(6\) \(12\) \(11\) \(5\) \(50\)
    \(r(a_j)\) \(0.02\) \(0.16\) \(0.14\) \(0.12\) \(0.24\) \(0.22\) \(0.10\) \(1.00\)
  3. Erstellen Sie ein Stabdiagramm.
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  4. Stellen Sie die zugehörige empirische Verteilungsfunktion auf und zeichnen Sie diese.
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    \[ F(x) = \sum_{\substack{a_j\le x\\ 1\le j \le m}} r(a_j) = \left\{\begin{array}{ccl} 0.00 & \mbox{für} & x < 1 \\[0.5em] 0.02 & \mbox{für} & 1 \le x < 2 \\[0.5em] 0.18 & \mbox{für} & 2 \le x < 3 \\[0.5em] 0.32 & \mbox{für} & 3 \le x < 4 \\[0.5em] 0.44 & \mbox{für} & 4 \le x < 5 \\[0.5em] 0.68 & \mbox{für} & 5 \le x < 6 \\[0.5em] 0.90 & \mbox{für} & 6 \le x < 7 \\[0.5em] 1.00 & \mbox{für} & x \ge 7 \\ \end{array}\right. \]
  5. Wie viele Autofahrer nutzten ihr Fahrzeug mehr als 3, aber höchstens 6 Tage in der Woche? Beschreiben Sie drei verschiedene Möglichkeiten, das Ergebnis zu erhalten.
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    Anteil der Autofahrer mit mehr als 3, aber höchstens 6 Tagen Autonutzung: \[ r((3,6]) = F(6)-F(3) = 0.9 - 0.32 = 0.58 \] \(\leadsto\) Anzahl: \(50\cdot 0.58 = 29\)
    Alternativ:
    • In der Urliste zählen, wie viele Merkmalswerte größer als 3 und kleiner gleich 6 sind.
    • Addieren der absoluten Häufigkeiten der Ausprägungen größer als 3 und kleiner gleich 6: \[ h(4) + h(5) + h(6) = 6 + 12 + 11 = 29 \]
  6. Wie groß ist der Anteil der Autofahrer, die ihr Fahrzeug höchstens an 5 Tagen in der Woche nutzten?
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    \(r((-\infty,5]) = F(5) = 0.68\ \leadsto\ 68\%\)

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Aufgabe 4

Zu einem erhobenen Merkmal sei die folgende empirische Verteilungsfunktion gegeben: \[ F(x) = \left\{\begin{array}{ccl} 0.000 & \mbox{für} & x < 1.5 \\[0.4em] 0.125 & \mbox{für} & 1.5 \le x < 2 \\[0.4em] 0.225 & \mbox{für} & 2 \le x < 2.5 \\[0.4em] 0.525 & \mbox{für} & 2.5 \le x < 3 \\[0.4em] 0.650 & \mbox{für} & 3 \le x < 3.5 \\[0.4em] 0.750 & \mbox{für} & 3.5 \le x < 4 \\[0.4em] 0.850 & \mbox{für} & 4 \le x < 4.5 \\[0.4em] 0.975 & \mbox{für} & 4.5 \le x < 5.5 \\[0.4em] 1.000 & \mbox{für} & x \ge 5.5 \\ \end{array}\right. \]

  1. Geben Sie die Menge \(A\) der Merkmalsausprägungen an.
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    \(A=\{ 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5.5 \}\)
  2. Erstellen Sie eine Tabelle der relativen Häufigkeiten.
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    \(a_j\) \(1.5\) \(2\) \(2.5\) \(3\) \(3.5\) \(4\) \(4.5\) \(5.5\) \(\Sigma\)
    \(r(a_j)\) \(0.125\) \(0.100\) \(0.300\) \(0.125\) \(0.100\) \(0.100\) \(0.125\) \(0.025\) \(1.000\)
  3. Wie viele Merkmalsträger müssen gemäß der vorliegenden empirischen Verteilungsfunktion \(F\) mindestens in der statistischen Masse enthalten gewesen sein?
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    Offensichtlich müssen alle absoluten Häufigkeiten natürliche Zahlen sein. In einer Darstellung mit Brüchen ist die Tabelle der relativen Häufigkeiten durch
    \(a_j\) \(1.5\) \(2\) \(2.5\) \(3\) \(3.5\) \(4\) \(4.5\) \(5.5\) \(\Sigma\)
    \(r(a_j)\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{3}{10}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{40}\) \(1\)
    gegeben. Damit muss für die Länge der Urliste \(n\) gelten, dass sie ein Vielfaches des Hauptnenners der relativen Häufigkeiten ist, also hier mindestens den Wert \(40\) annimmt (genauer: ein Vielfaches von \(40\) ist).
  4. Ergänzen Sie mit der Zusatzinformation, dass die Urliste \(n=40\) Einträge umfasst, die Tabelle aus Teil b. um die absoluten Häufigkeiten.
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    \(a_j\) \(1.5\) \(2\) \(2.5\) \(3\) \(3.5\) \(4\) \(4.5\) \(5.5\) \(\Sigma\)
    \(r(a_j)\) \(0.125\) \(0.100\) \(0.300\) \(0.125\) \(0.100\) \(0.100\) \(0.125\) \(0.025\) \(1.000\)
    \(h(a_j)\) \(5\) \(4\) \(12\) \(5\) \(4\) \(4\) \(5\) \(1\) \(40\)

Erklär-Video zu Aufgabe 4