Übungsblatt 10

Aufgabe 48

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Es seien \(X\) die Anzahl, mit der die Augenzahl “6” und \(Y\) die Anzahl, mit der die Augenzahl “1” erzielt wird.

  1. Geben Sie die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors \((X,Y)\) an.
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    \(\Omega=\{(i,j):1\leq i,j\leq6\}\) mit \(P\{(i,j)\}=\dfrac{1}{36}\) für \(1\leq i,j\leq6.\)
    \((X,Y):\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{2}\), offensichtlich sind die Trägerpunkte von \((X,Y)\) die Paare \((0,0)\), \((0,1)\), \((0,2)\), \((1,0)\), \((1,1)\) und \((2,0)\).
    Als Punktwahrscheinlichkeiten erhält man:
    • \(P_{(X,Y)}\{(0,0)\}=P\{(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(3,2);\ldots;(5,4);(5,5)\}=\dfrac{16}{36}\)
    • \(P_{(X,Y)}\{(0,1)\}=P\{(1,2);\ldots;(1,5);(2,1);\ldots;(5,1)\}=\dfrac{8}{36}\)
    • \(P_{(X,Y)}\{(0,2)\}=P\{(1,1)\}=\dfrac{1}{36}\)
    • \(P_{(X,Y)}\{(1,0)\}=P\{(6,2);\ldots;(6,5);(2,6);\ldots;(5,6)\}=\dfrac{8}{36}\)
    • \(P_{(X,Y)}\{(1,1)\}=P\{(6,1);(1,6)\}=\dfrac{2}{36}\)
    • \(P_{(X,Y)}\{(2,0)\}=P\{(6,6)\}=\dfrac{1}{36}\)
    \(\Rightarrow\) Tabelle der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten:
    \(X \backslash Y\) 0 1 2
    0 \(\frac{16}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{1}{36}\)
    1 \(\frac{8}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(0\)
    2 \(\frac{1}{36}\) \(0\) \(0\)
  2. Geben Sie die Randverteilungen von \(X\) und \(Y\) an.
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    Ergänzte Wahrscheinlichkeitstabelle:
    \(X \backslash Y\) 0 1 2 \(p_{\cdot j}\)
    0 \(\frac{16}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{25}{36}\)
    1 \(\frac{8}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(0\) \(\frac{10}{36}\)
    2 \(\frac{1}{36}\) \(0\) \(0\) \(\frac{1}{36}\)
    \(p_{i\cdot}\) \(\frac{25}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{1}{36}\) \(1\)
  3. Bestimmen Sie \(P(\{X\le 1,Y\le 1\})\).
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    \(P(\{X\le 1,Y\le 1\})=\sum_{i:x_{i}\leq1}\sum_{j:y_{j}\leq 1}p_{ij}=\dfrac{16+8+8+2}{36}=\dfrac{34}{36}\)
  4. Prüfen Sie nach, ob \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig sind.
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    \(X\) und \(Y\) sind stochastisch abhängig, denn es gilt z. B.:
    \(P\{X=2,Y=2\}=0\neq P\{X=2\}\cdot P\{Y=2\}=\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{1}{36}\)

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Aufgabe 49

In der folgenden Tabelle ist die (gemeinsame) Wahrscheinlichkeitsverteilung des zweidimensionalen diskreten Zufallsvektors \((X,Y)\) gegeben:
\(X \backslash Y\) 1 2 3
1 \(0.02\) \(0.13\) \(0.15\)
2 \(0.16\) \(0.20\) \(0.14\)
3 \(0.12\) \(0.04\) \(0.04\)
  1. Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung um die beiden Randverteilungen.
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    Tabelle inklusive Randverteilungen:
    \(X \backslash Y\) 1 2 3 \(p_{i\cdot}\)
    1 \(0.02\) \(0.13\) \(0.15\) \(0.30\)
    2 \(0.16\) \(0.20\) \(0.14\) \(0.50\)
    3 \(0.12\) \(0.04\) \(0.04\) \(0.20\)
    \(p_{\cdot j}\) \(0.30\) \(0.37\) \(0.33\) \(1.00\)
  2. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
    1. \(P\{1\leq X\leq2\), \(2\leq Y\leq3\}\) ,
    2. \(P\{X\leq2\}\) ,
    3. \(P\{X>2,Y<3\}\) .
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    Gesuchte Wahrscheinlichkeiten:
    1. \(P\{1\leq X\leq2\) , \(2\leq Y\leq3\}=\sum_{i:1\leq x_{i}\leq2}\sum_{j:2\leq y_{j}\leq3}p_{ij}= 0.13 + 0.15 + 0.20 + 0.14 =0.62\)
    2. \(P\{X\leq2\}=\sum_{i:x_{i}\leq2}p_{i\cdot}= 0.30 + 0.50 =0.8\)
    3. \(P\{X>2,Y<3\}=\sum_{i:2<x_{i}}\sum_{j:y_{j}<3}p_{ij}=0.12+0.04=0.16\)
  3. Geben Sie die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen von \(X\) unter der Bedingung \(Y=y_j\) für alle \(y_j\in T(Y)\) über die zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeitsfunktionen an.
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    Für die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen von \(X\) gegeben \(Y=y_j\) gilt an den Trägerpunkten \(x_i\) von \(X\): \[ p_{X|Y=y_j}(x_i) = \frac{p_{(X,Y)}(x_i,y_j)}{p_Y(y_j)} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} \] Man erhält damit:
    \(x_i\) \(p_{X|Y=1}(x_i)\) \(p_{X|Y=2}(x_i)\) \(p_{X|Y=3}(x_i)\)
    1 \(\frac{1}{15}\) \(\frac{13}{37}\) \(\frac{5}{11}\)
    2 \(\frac{8}{15}\) \(\frac{20}{37}\) \(\frac{14}{33}\)
    3 \(\frac{2}{5}\) \(\frac{4}{37}\) \(\frac{4}{33}\)
    \(\Sigma\) \(1\) \(1\) \(1\)
  1. Sind \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort mit den Resultaten aus Teil c.!
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    Bei Unabhängigkeit müssten alle bedingten Verteilungen von \(X\) gegeben \(Y=y_j\) für \(y_j\in T(Y)\) mit der Randverteilung von \(X\) übereinstimmen, es müsste also \(p_{X|Y=y_j}(x_i)=p_{i\cdot}\) für alle \(x_i\in T(X)\) und \(y_j\in T(Y)\) gelten. Dies ist aber offensichtlich hier nicht erfüllt, \(X\) und \(Y\) sind also stochastisch abhängig.

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Aufgabe 50

Für die unabhängigen Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle unvollständig wie folgt gegeben: \[ \begin{array}[c]{|c|cc|c|}\hline X\backslash Y & 1 & 2 & p_{i\cdot}\\\hline -1 & 1/8 & \mathbf{\cdot} & \mathbf{\cdot}\\ 0 & \mathbf{\cdot} & \mathbf{\cdot} & 3/8\\ 1 & \mathbf{\cdot} & \mathbf{\cdot} & \mathbf{\cdot}\\\hline p_{\cdot j} & 1/3 & \mathbf{\cdot} & 1\\\hline \end{array} \] Vervollständigen Sie die Tabelle.
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Vollständige Wahrscheinlichkeitstabelle unter Ausnutzung der (wegen Unabhängigkeit geltenden) Beziehung \(p_{ij}=p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j}\):
\(X \backslash Y\) 1 2 \(p_{i\cdot}\)
-1 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{8}\)
0 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{8}\)
1 \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{4}\)
\(p_{\cdot j}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(1\)

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Aufgabe 51

Der zweidimensionale Zufallsvektor \((X,Y)\) habe die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\(X \backslash Y\) 3 4 5
1 \(\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\)
2 \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{3}\) \(0\)
3 \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{12}\)
  1. Berechnen Sie die Erwartungswerte \(\operatorname{E}(X)\) und \(\operatorname{E}(Y)\) sowie die Varianzen \(\operatorname{Var}(X)\) und \(\operatorname{Var}(Y)\).
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    Randverteilung von \(X\) und Randverteilung von \(Y\)
    \(X \backslash Y\) 3 4 5 \(p_{i\cdot}\)
    1 \(\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\)
    2 \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{3}\) \(0\) \(\frac{5}{12}\)
    3 \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{4}\)
    \(p_{\cdot j}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(1\)
    • \(\operatorname{E}(X)=\sum_{x_i}x_{i}\cdot p_X(x_i)=1\cdot\dfrac{1}{3}+2\cdot\dfrac{5}{12}+3\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{23}{12}=1.91667\)
    • \(\operatorname{E}(Y)=\sum_{y_j}y_{j}\cdot p_Y(y_j)=3\cdot\dfrac{1}{4}+4\cdot\dfrac{1}{2}+5\cdot\dfrac{1}{4}=4\)
    • Varianzzerlegungssatz: \(\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\left[\operatorname{E}(X)\right]^{2}\)
      \(\operatorname{E}(X^2)=\sum_{x_i}x_{i}^{2}\cdot p_X(x_i)=1^2\cdot\dfrac{1}{3}+2^2\cdot\dfrac{5}{12}+3^2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{51}{12}=4.25\)
      \(\Rightarrow\operatorname{Var}(X)=\dfrac{51}{12}-\left(\dfrac{23}{12}\right)^2=\dfrac{83}{144}=0.57639\)
    • Varianzzerlegungssatz \(\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}(Y^2)-\left[\operatorname{E}(Y)\right]^2\)
      \(\operatorname{E}(Y^2)=\sum_{y_j}y_{j}^{2}\cdot p_Y(y_j)=3^2\cdot\dfrac{1}{4}+4^2\cdot\dfrac{1}{2}+5^2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{33}{2}=16.5\)
      \(\operatorname{Var}(Y)=\dfrac{33}{2}-4^2=\dfrac{1}{2}=0.5\)
  2. Berechnen Sie die Kovarianz \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) und den Korrelationskoeffizenten \(\operatorname{Korr}(X,Y).\)
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    Kovarianzzerlegungssatz: \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{E}(X\cdot Y)-\operatorname{E}(X)\cdot\operatorname{E}(Y)\) \[ \begin{split} \operatorname{E}(X\cdot Y) &= \sum_{x_i}\sum_{y_j}x_{i}\cdot y_{j}\cdot p_{(X,Y)}(x_i,y_j) =\sum_{i}\sum_{j}x_{i}\cdot y_{j}\cdot p_{ij} \\ &= 1\cdot 3\cdot \dfrac{1}{6} + 1\cdot 4\cdot 0 + 1\cdot 5\cdot \dfrac{1}{6} \\ &+ 2\cdot 3\cdot \dfrac{1}{12} + 2\cdot 4\cdot \dfrac{1}{3} + 2\cdot 5\cdot 0 \\ &+ 3\cdot 3\cdot 0 + 3\cdot 4\cdot \dfrac{1}{6} + 3\cdot 5\cdot \dfrac{1}{12} \\ &=\dfrac{93}{12}=7.75 \end{split} \] \(\Rightarrow\operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{93}{12}-\dfrac{23}{12}\cdot4=\dfrac{1}{12}=0.08333\)
    \(\Rightarrow\operatorname{Korr}(X,Y)=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\cdot\operatorname{Var}(Y)}}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\sqrt{{\dfrac{83}{144}}\cdot{\dfrac{1}{2}}}}=0.155\)
  3. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \(4X-2Y+3\).
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    • \(\operatorname{E}(4X-2Y+3)=4\cdot\operatorname{E}(X)-2\cdot\operatorname{E}(Y)+3=4\cdot \dfrac{23}{12} - 2\cdot 4 + 3 = \dfrac{8}{3}\)
    • \(\operatorname{Var}(4X-2Y+3)=4^2 \cdot \operatorname{Var}(X) + (-2)^2 \cdot \operatorname{Var}(Y) + 2\cdot 4\cdot (-2) \cdot \operatorname{Cov}(X,Y)\)
      \(=16\cdot \dfrac{83}{144} + 4\cdot \dfrac{1}{2} - 16\cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{89}{9}\)

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