Übungsblatt 11

Aufgabe 52

Eine Bank hat \(3\) Filialen in einer Stadt. Die Anzahl der Kunden, die die Filialen pro Stunde betreten sei poissonverteilt mit den Parametern \(\lambda_{1}=2\) für die erste Filiale, \(\lambda_{2}=1\) für die zweite Filiale und \(\lambda_{3}=1\) für die dritte Filiale. Die Ankünfte der Kunden seien unabhängig voneinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Stunde insgesamt

  1. genau \(2\) Kunden,
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    Es seien \(X_{i}\) die Anzahl der Kunden pro Stunde in Filiale \(i\) mit \(X_i\sim\operatorname{Pois}(\lambda_i)\).
    Dann ist \(Y=X_{1}+X_{2}+X_{3}\) die Gesamtanzahl der Kunden pro Stunde und es gilt \(Y\sim\operatorname{Pois}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})=\operatorname{Pois}(4)\).
    Damit erhält man: \(P\{Y=2\}= p_Y(2) = \displaystyle\frac{4^2}{2!}e^{-4} = 0.14653\)
  2. höchstens \(1\) Kunde,
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    \(P\{Y\le1\}=p_Y(0) + p_Y(1) = \displaystyle\frac{4^0}{0!}e^{-4} + \frac{4^1}{1!}e^{-4} = 0.01832 + 0.07326 = 0.09158\)
  3. mehr als \(2\) Kunden
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    \(P\{Y>2\} = 1 - \sum_{y=0}^2 p_Y(y) = 1 - \underbrace{(p_Y(0)+p_Y(1))}_{\stackrel{(b)}{=} 0.09158} - \underbrace{p_Y(2)}_{\stackrel{(a)}{=} 0.14653} = 0.76189\)

die drei Filialen betreten?

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Aufgabe 53

In einer Zigarettenfabrik verpackt ein Automat jeweils \(18\) Zigaretten in eine Schachtel. Das Gewicht \(X_{i}\) einer Zigarette ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu_{X_{i}}=1\) [g] und der Standardabweichung \(\sigma_{X_{i}}=0.01\) [g], \(i=1,\ldots,18\). Das Gewicht \(Y\) der Schachtel ist ebenfalls normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu_{Y}=10\) [g] und der Varianz \(\sigma_{Y}^{2}=0.0082\) [g\(^{2}\)]. Ferner seien die Gewichte \(X_{i}\) der einzelnen Zigaretten untereinander und vom Gewicht \(Y\) der Schachtel unabhängig.

  1. Wie groß ist das durchschnittliche Gesamtgewicht und die Standardabweichung einer gefüllten Zigarettenschachtel?
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    Es sei \(S\) das Gesamtgewicht einer gefüllten Zigarettenschachtel. Dann gilt wegen \(S=X_1+X_2+\ldots +X_{18}+Y\) und der Unabhängigkeitsannahme:
    \(\operatorname{E}(S)=:\mu_{S}=\mu_{X_{1}}+\mu_{X_{2}}+\cdots+\mu_{X_{18}}+\mu_{Y}=18+10=28[g]\)
    \(\operatorname{Var}(S)=:\sigma_{S}^{2}=\sigma_{X_{1}}^{2}+\sigma_{X_{2}}^{2}+\cdots +\sigma_{X_{18}}^{2}+\sigma_{Y}^{2}=0.0018+0.0082=0.01[g^{2}]\)
    \(\Rightarrow\sigma_{S}=0.1[g]\)
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gesamtgewicht einer gefüllten Zigarettenschachtel zwischen 27.8 [g] und 28.2 [g] liegt?
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    \(S\sim N(\mu_S,\sigma_S^2) = N(28,0.1^2)\)
    \(\Rightarrow P\left\{27.8\leq S\leq28.2\right\}=F_{S}(28.2)-F_{S}(27.8)=\Phi\left(\dfrac{28.2-28}{0.1}\right)-\Phi\left(\dfrac{27.8-28}{0.1}\right)\)
    \(=\Phi(2)-\Phi(-2)=2\cdot\Phi(2)-1=0.9544\)
  3. Geben Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Bereich an, in dem das Gesamtgewicht einer gefüllten Zigarettenschachtel mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt.
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    Gesucht: \(a>0\) mit \(P(|S-\mu_{S}|\leq a)\stackrel{!}{=}0.95\). Es gilt: \[\begin{eqnarray*} P\left\{|S-\mu_{S}|\leq a\right\} & = & P\left\{\mu_S-a\leq S\leq \mu_S+a\right\} = F_S(\mu_S+a)-F_S(\mu_S-a) \\ & = & \Phi\left(\frac{\mu_S+a-\mu_S}{\sigma_S}\right)-\Phi\left(\frac{\mu_S-a-\mu_S}{\sigma_S}\right) \\ & = & \Phi\left(\frac{a}{\sigma_S}\right)-\underbrace{\Phi\left(-\frac{a}{\sigma_S}\right)}_{=1-\Phi\left(\frac{a}{\sigma_S}\right)} =2\Phi\left(\frac{a}{\sigma_S}\right)-1 \stackrel{!}{=} 0.95 \\ \Leftrightarrow \Phi\left(\frac{a}{\sigma_S}\right) & = & 0.975 \Leftrightarrow \frac{a}{\sigma_S} = \Phi^{-1}(0.975) = 1.96\\ \Rightarrow a & = & \sigma_S \cdot 1.96 = 0.1 \cdot 1.96 = 0.196 \end{eqnarray*}\] \(\Rightarrow P\{27.804\leq S\leq28.196\}=0.95\)

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Aufgabe 54

Ein Sportschütze trifft bei jedem Schuss unabhängig von den vorangegangenen Schüssen mit Wahrscheinlichkeit \(p=0.8\) die Zielscheibe. Bei einem Wettbewerb gibt er insgesamt \(400\) Schüsse ab.

  1. Wie ist die Anzahl \(Y\) der Treffer auf die Zielscheibe (exakt) verteilt?
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    \(Y\) ist als Summe \(400\) unabhängiger \(B(1,0.8)\)-verteilter Zufallsvariablen \(B(400,0.8)\)-verteilt.
  2. Verwenden Sie einen geeigneten Grenzwertsatz, um die Wahrscheinlichkeit, mit der mehr als \(330\) Treffer erreicht werden, näherungsweise zu berechnen.
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    \(Y\sim B(400,0.8)\), es gilt also insbesondere \[ \mu_Y=\operatorname{E}(Y)=400\cdot 0.8=320\quad\mbox{und}\quad\sigma_Y^2=\operatorname{Var}(Y)=400\cdot 0.8\cdot(1-0.8)=64 \] bzw. \(\sigma_Y=8\). Mit dem zentralen Grenzwertsatz erhält man
    \(P\{Y>330\}=1-P\{Y\le330\} = 1-F_Y(330) \approx 1-F_{\operatorname{N}(320,8^2)}(330) = 1-\Phi\left(\frac{330-320}{8}\right) = 1-\Phi\left(1.25\right) = 1- 0.8944 = 0.1056\)
    (Exakte Wahrscheinlichkeit: 0.09301)
  3. Verwenden Sie einen geeigneten Grenzwertsatz, um näherungsweise die kleinste natürliche Zahl \(k\) zu bestimmen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\%\) die Anzahl \(Y\) der erzielten Treffer im Intervall \([320-k;320+k]\) liegt.
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    Zunächst: Suche \(a>0\) mit \(P\{320-a\leq Y\leq320+a\}\stackrel{!}{=}0.95\) und wähle \(k\) als kleinste natürliche Zahl größer oder gleich \(a\) (damit \(P\{320-k\leq Y\leq320+k\}\stackrel{!}{\ge}0.95\) gilt).
    Man erhält: \[\begin{eqnarray*} P\{320-a\leq Y\leq 320+a\} & \approx & F_{N(320,8^2)}(320+a)-F_{N(320,8^2)}(320-a) \\ & = & \Phi\left(\frac{320+a-320}{8}\right)-\Phi\left(\frac{320-a-320}{8}\right) \\ & = & \Phi\left(\frac{a}{8}\right)-\underbrace{\Phi\left(-\frac{a}{8}\right)}_{=1-\Phi\left(\frac{a}{8}\right)} =2\Phi\left(\frac{a}{8}\right)-1 \stackrel{!}{=} 0.95 \\ \Leftrightarrow \Phi\left(\frac{a}{8}\right) & = & 0.975 \Leftrightarrow \frac{a}{8} = \Phi^{-1}(0.975) = 1.96\\ \Rightarrow a & = & 8\cdot 1.96 = 15.68 \end{eqnarray*}\] Wählt man \(k=\min\{n\in\mathbb{N}\,|\,n\ge a\}=16\), gilt damit offensichtlich \[ P\{320-k\leq Y\leq 320+k\}\ge0.95\ . \] (Exakte Wahrscheinlichkeit für \(k=16\): \(P\{304\le Y\le 336\}=0.9611\))
    (Exakte Wahrscheinlichkeit für \(k=15\): \(P\{305\le Y\le 335\}=0.9476\))

Erklär-Video zu Aufgabe 54

Aufgabe 55

In einem Hotel mit \(400\) Zimmern können Zimmerreservierungen bis zum Anreisetag kostenlos storniert werden. Man weiß aus Erfahrung, dass im Mittel \(15\%\) der reservierten Zimmer tatsächlich kurzfristig storniert werden. Um die Zahl der freien Zimmer möglichst gering zu halten, nimmt das Hotel daher mehr Zimmerreservierungen an als Zimmer im Hotel vorhanden sind.

  1. Wie ist die Anzahl \(Y\) der tatsächlich wegen Reservierungen benötigten (also nicht stornierten) Zimmer verteilt, wenn insgesamt \(450\) Zimmerreservierungen angenommen wurden und davon ausgegangen werden kann, dass das Stornierungsverhalten der Hotelgäste voneinander unabhängig ist?
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    Wegen der Unabhängigkeitsannahme gilt \(Y\sim B(450,0.85)\).
  2. Berechnen Sie unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei \(450\) angenommenenen Reservierungen genügend Zimmer zur Verfügung stehen, um alle Hotelgäste, die reserviert und nicht storniert haben, auch im Hotel unterzubringen.
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    Es gilt \(\operatorname{E}(Y)=n\cdot p=450\cdot0.85 = 382.5\) sowie \(\operatorname{Var}(Y) = n\cdot p\cdot (1-p) = 450\cdot0.85\cdot0.15 = 57.375\).
    Mit dem zentralen Grenzwertsatz erhält man also
    \(P\{Y\leq400\} \approx \Phi\left(\dfrac{400-\operatorname{E}(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}\right) =\Phi\left(\dfrac{400-382.5}{\sqrt{57.375}}\right) \approx\Phi\left(2.31\right) =0.9896 =98.96\%\)
  3. Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz, um näherungsweise ein \(0.95\)-Quantil der Anzahl in Anspruch genommener Zimmerreservierungen \(Y\) zu bestimmen.
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    Für das \(0.95\)-Quantil \(y_{0.95}\) von \(Y\) gilt:
    \[ F_Y(y_{0.95}) \approx F_{N(382.5,57.375)}(y_{0.95}) = \Phi\left(\frac{y_{0.95}-382.5}{\sqrt{57.375}}\right) \stackrel{!}{=} 0.95 \] und weiter \[\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{y_{0.95}-382.5}{\sqrt{57.375}}\right) & \stackrel{!}{=} & = 0.95 \quad\Rightarrow\quad \frac{y_{0.95}-382.5}{\sqrt{57.375}} = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.64\\ \Rightarrow\quad y_{0.95} & \approx & 382.5+1.64\cdot \sqrt{57.375} = 394.9224 \end{eqnarray*}\] Es gilt also \(P\{Y\le 394.9224 \}=0.95\).

Erklär-Video zu Aufgabe 55