Übungsblatt 5

Aufgabe 18

Eine Münze wird (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) dreimal geworfen. Als Ergebnisse eines einzelnen Wurfes können Wappen \(W\) bzw. Zahl \(Z\) auftreten. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
  1. Geben Sie die Ergebnismengen zu \(A\) und \(B\) an.
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    \(A=\{(W,W,W),(W,W,Z),(W,Z,W),(W,Z,Z)\};\)
    \(B=\{(W,W,Z),(W,Z,Z),(Z,W,Z),(Z,Z,Z)\}.\)
  2. Beschreiben Sie folgende Ereignisse in Worten und geben Sie die zugehörigen Ergebnismengen an:
    \(A\cap B\); \(A\cup B\); \(\overline{A}\); \(A\cap\overline{B}\); \(\overline{A}\cap\overline{B}.\)
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    • \(A\cap B=\) “Beim 1. Wurf erscheint Wappen und beim 3. Wurf erscheint Zahl”
      \(=\{(W,W,Z),(W,Z,Z)\}.\)
    • \(A\cup B=\) “Beim 1. Wurf erscheint Wappen oder beim 3. Wurf erscheint Zahl”
      \(=\{(W,W,W),(W,W,Z),(W,Z,W),(W,Z,Z),(Z,W,Z),(Z,Z,Z)\}.\)
    • \(\overline{A}=\) “Beim ersten Wurf erscheint kein Wappen”
      \(=\{(Z,Z,Z),(Z,Z,W),(Z,W,Z),(Z,W,W)\}.\)
    • \(A\cap\overline{B}=\) “Beim 1. Wurf erscheint Wappen und beim 3. Wurf keine Zahl”
      \(=\) “Beim 1. Wurf und beim 3. Wurf erscheint Wappen”
      \(=\{(W,W,W),(W,Z,W)\}.\)
    • \(\overline{A}\cap\overline{B}=\) “Beim 1. Wurf erscheint kein Wappen und beim 3. Wurf erscheint keine Zahl”
      \(=\) “Beim 1. Wurf erscheint Zahl und beim 3. Wurf erscheint Wappen”
      \(=\{(Z,W,W),(Z,Z,W)\}.\)
  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(A\cup B\) und \(\overline{A}\cap \overline{B}?\)
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    \(A\cup B\) und \(\overline{A}\cap\overline{B}\) sind Gegenereignisse voneinander (vgl. De Morgan).
  4. Geben Sie das Gegenereignis zu \(\{(W,W,W)\}\) in Worten und als Ergebnismenge an.
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    “Es erscheint nicht 3-mal Wappen” bzw. “Es erscheint mindestens einmal Zahl”
    \(=\{(W,W,Z),(W,Z,W),(Z,W,W),(W,Z,Z),(Z,W,Z),(Z,Z,W),(Z,Z,Z)\}.\)

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Aufgabe 19

Bei einer Analyse von Saarbrücker 2-Zimmer-Mietwohnungen wurde u. a. erfasst, welche der Wohnungen einen Balkon besitzen (Ereignis \(A\)), in welchen Wohnungen eine Einbauküche vorhanden ist (Ereignis \(B\)) und welche Wohnungen mit einer Zentralheizung (Ereignis \(C\)) ausgestattet sind. Stellen Sie die folgenden Ereignisse durch geeignete Verknüpfungen der Ereignisse \(A, B, C\) dar:
Saarbrücker 2-Zimmer-Mietwohnungen

  1. mit Balkon und Zentralheizung,
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    \(A\cap C\)
  2. mit Zentralheizung, aber ohne Balkon,
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    \(C\setminus A\) bzw. \(C\cap \overline{A}\)
  3. ohne Balkon und ohne Einbauküche.
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    \(\overline{A}\cap\overline{B}\)

Welche der Wohnungen sind durch die folgenden Ereignisse gekennzeichnet:

\(B\setminus A,\quad\overline{B}\cap\overline{C},\quad\overline{A}\cup\overline{B},\quad C\cap\overline{(A\cup B)}?\)
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  • \(B\setminus A:\) Wohnungen mit Einbauküche, aber ohne Balkon

  • \(\overline{B}\cap\overline{C}:\) Wohnungen, in denen weder Einbauküche noch Zentralheizung vorhanden sind

  • \(\overline{A}\cup\overline{B}:\) Wohnungen ohne Balkon oder ohne Einbauküche

  • \(C\cap\overline{(A\cup B)}:\) Wohnungen nur mit Zentralheizung aber ohne Balkon und ohne Einbauküche

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Aufgabe 20

Von den Studentinnen und Studenten, die in einem Semester an den Klausuren im Fach Statistik und im Fach Mathematik teilnahmen, haben \(15\%\) die Statistik-Klausur, \(12\%\) die Mathematik-Klausur und \(8\%\) beide Klausuren (Statistik und Mathematik) nicht bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Studierender

  1. in mindestens einem der beiden Fächer die Klausur nicht bestanden hat?
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    Mit den Ereignissen
    \(A:\) “Klausur in Statistik nicht bestanden”
    \(B:\) “Klausur in Mathematik nicht bestanden”
    sind gegeben: \(P(A)=0.15\), \(P(B)=0.12\), \(P(A\cap B)=0.08\)
    Gesucht:
    \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.15+0.12-0.08=0.19\)
  2. nur in Mathematik die Klausur nicht bestanden hat?
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    Gesucht:
    \(P(B\cap\overline{A})=P(B)-P(B\cap A)=0.12-0.08=0.04\)
  3. in beiden Fächern die Klausur bestanden hat?
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    Gesucht:
    \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{(A\cup B)})=1-P(A\cup B)=1-0.19=0.81\)
  4. in genau einem Fach die Klausur nicht bestanden hat?
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    Gesucht:
    \(P((A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B))=P(\overline{A}\cap B)+P(A\cap\overline{B})-P((A\cap\overline{B})\cap(\overline{A}\cap B))\)
    \(=P(\overline{A}\cap B)+P(A\cap\overline{B}))=P(B\cap\overline{A})+P(A)-P(A\cap B)\)
    \(=0.04+0.15-0.08=0.11\)

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Aufgabe 21

Seien \((\Omega\), \(\mathcal{F}\), \(P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \(A, B, C\in\mathcal{F}\). Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. welche der folgenden Aussagen sind falsch?

  1. \(P:\Omega\rightarrow\mathbb{R};\)
  2. \(P:\mathcal{F}\rightarrow\lbrack0\), \(1];\)
  3. \(A\cap C\subseteq\Omega\);
  4. \(A\cup B\in\Omega\);
  5. \(A\cap B\in\mathcal{F};\)
  6. \(P(B)=P(C)\Rightarrow B=C.\)
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  1. \(P:\Omega\rightarrow\mathbb{R};\qquad\) falsch
  2. \(P:\mathcal{F}\rightarrow\lbrack0\), \(1];\qquad\) richtig
  3. \(A\cap C\subseteq\Omega\);\(\qquad\) richtig
  4. \(A\cup B\in\Omega\);\(\qquad\) falsch
  5. \(A\cap B\in\mathcal{F};\qquad\) richtig
  6. \(P(B)=P(C)\Rightarrow B=C;\qquad\) falsch

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Aufgabe 22

In einer Urne befinden sich 18 Kugeln, von denen jeweils 6 rot, grün und blau sind. Die gleichfarbigen Kugeln sind jeweils von 1 bis 6 durchnummeriert. Es wird zufällig eine Kugel aus der Urne gezogen.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel nicht grün ist und nicht die Zahl 5 trägt?
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    Mit \[ \Omega = \{R1,R2,R3,R4,R5,R6,G1,G2,G3,G4,G5,G6,B1,B2,B3,B4,B5,B6\} \] ist die Annahme eines sog. Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraumes angemessen, d.h.
    • \(\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)\),
    • \(\displaystyle P:\mathcal{F}\to\mathbb{R}; P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} = \frac{\#A}{18}\).
    Gesucht: \(P(A)\) mit \(A=\{R1,R2,R3,R4,R6,B1,B2,B3,B4,B6\}\)
    \(\displaystyle\Rightarrow \#A=10 \Rightarrow P(A) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} = 55.\overline{5}\%\)
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel oder eine Kugel mit der Zahl 4 gezogen wird?
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    Gesucht: \(P(B)\) mit \(B=\{R1,R2,R3,R4,R5,R6,B4,G4\}\)
    \(\displaystyle\Rightarrow \#B=8 \Rightarrow P(B) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} = 44.\overline{4}\%\)

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Aufgabe 23

Ein Automobilunternehmen weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei der Endkontrolle 5% der Neuwagen Lackmängel und 7% der Neuwagen sonstige Verarbeitungsmängel aufweisen. Dagegen weisen 90% der Neuwagen weder einen Lackmangel noch einen sonstigen Verarbeitungsmangel auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Neuwagen bei der Endkontrolle

  1. einen Lackmangel oder einen sonstigen Verarbeitungsmangel aufweist,
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    \(L\) sei das Ereignis “Neuwagen weist einen Lackmangel” auf, \(S\) sei das Ereignis “Neuwagen weist einen sonstigen Mangel” auf.
    Gegeben: \(P(L)=0.05\), \(P(S)=0.07\), \(P(\overline{L}\cap\overline{S})=0.90\)

    Gesucht: \(P(L\cup S)\)
    Es gilt \(\overline{L}\cap\overline{S}=\overline{L\cup S}\) (De Morgan), damit also
    \(P(L\cup S) = 1 - P(\overline{L\cup S}) = 1 - P(\overline{L}\cap\overline{S}) = 1 - 0.90 = 0.10\)
  2. einen Lackmangel und einen sonstigen Verarbeitungsmangel aufweist,
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    Gesucht \(P(L\cap S)\)
    Es gilt: \(P(L\cup S)=P(L)+P(S)-P(L\cap S)\)
    \(\Rightarrow P(L\cap S)=P(L)+P(S)-P(L\cup S)=0.05+0.07-0.10=0.02\)
  3. keinen Lackmangel, dagegen aber einen sonstigen Verarbeitungsmangel aufweist.
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    Gesucht \(P(\overline{L}\cap S)\)
    Es gilt: \(P(S) = P(L\cap S) + P(\overline{L}\cap S)\)
    \(\Rightarrow P(\overline{L}\cap S)=P(S)-P(L\cap S)=0.07-0.02=0.05\)

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Aufgabe 24

Herr Meier hat 3 Briefe geschrieben und die zugehörigen Umschläge adressiert. In jeden Umschlag legt er einen Brief, und zwar ganz zufällig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei wenigstens ein Brief in den richtigen Umschlag kommt? Man gebe zur Lösung einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.

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Konstruktion des Wahrscheinlichkeitsraums:

  • Ergebnismenge \(\Omega\):
    \(\Omega= \{(B_{11}, B_{22}, B_{33}), (B_{11}, B_{23}, B_{32}), (B_{13}, B_{22}, B_{31}),\),
    \(\qquad (B_{12}, B_{21}, B_{33}), (B_{12}, B_{23}, B_{31}), (B_{13}, B_{21}, B_{32})\}\)
    Interpretation \(B_{ij}\): Brief \(i\) liegt in Umschlag \(j\), also: Brief in korrektem Umschlag \(\Longleftrightarrow\) \(i=j\)
  • Ereignismenge \(\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)\)
  • Zufälliges Verteilen der Briefe auf Umschläge

    \(\leadsto\) alle Ergebnisse (als Elementarereignisse betrachtet) gleichwahrscheinlich
    \(\leadsto\) \(\displaystyle P:\mathcal{F}\to\mathbb{R}; P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#A}{6}\)

Ereignis \(R\) (“Wenigstens ein Brief liegt im richtigen Umschlag”):
\(R = \{(B_{11}, B_{22}, B_{33}), (B_{11}, B_{23}, B_{32}), (B_{13}, B_{22}, B_{31}), (B_{12}, B_{21}, B_{33})\}\)
und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(\displaystyle P(R)=\frac{\#R}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Erklär-Video zu Aufgabe 24