Übungsblatt 8

Aufgabe 37

Es sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(p_X(x_i)\) \(0.10\) \(0.15\) \(0.20\) \(0.25\) \(0.30\)
  1. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \(F_{X}\) der Zufallsvariablen \(X\).
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    \[ F_{X}(x)=\sum_{\substack{x_i\in T(X)\\ x_i\le x}} p_X(x_i)=\left\{ \begin{array} [c]{ccc}% 0 & \text{für} & x<0\\[0.1cm] 0.10 & \text{für} & 0\leq x<1\\[0.1cm] 0.25 & \text{für} & 1\leq x<2\\[0.1cm] 0.45 & \text{für} & 2\leq x<3\\[0.1cm] 0.70 & \text{für} & 3\leq x<4\\[0.1cm] 1.0 & \text{für} & x\geq 4 \end{array} \right. \]
  2. Bestimmen Sie den Erwartungswert von \(X\). Ist \(X\) symmetrisch um ihren Erwartungswert verteilt?
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    Für den Erwartungswert von \(X\) erhält man \[ \operatorname{E}(X)=\sum_{x_i}x_{i}\cdot p_X(x_{i})=0\cdot 0.10 +1\cdot 0.15+2\cdot 0.20+3\cdot 0.25+4\cdot 0.30=2.5 \] \(X\) ist nicht symmetrisch zu ihrem Erwartungswert \(\operatorname{E}(X)=2.5\) verteilt, denn es gilt zum Beispiel für \(x=0 \in T(X)\), dass der an \(\operatorname{E}(X)\) gespiegelte Wert \(2\cdot\operatorname{E}(X)-0 = 2\cdot 2.5-0= 5\) überhaupt nicht im Träger von \(X\) enthalten ist.

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Aufgabe 38

Die Verteilung der diskreten Zufallsvariablen \(X\) sei wie folgt gegeben:
\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(p_X(x_i)\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{2}{9}\) \(\frac{3}{9}\) \(\frac{2}{9}\) \(\frac{1}{9}\)
  1. Berechnen Sie den Erwartungswert \(\operatorname{E}(X)\) und die Varianz \(\operatorname{Var}(X)\).
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    Es gilt \(\operatorname{E}(X)=\sum_{x_i}x_{i}\cdot p_X(x_{i})=0\cdot\dfrac{1}{9}+1\cdot\dfrac{2}{9}+2\cdot\dfrac{3}{9}+3\cdot\dfrac{2}{9}+4\cdot\dfrac{1}{9}=2\).
    Mit dem Varianzzerlegungssatz gilt für die Varianz \(\operatorname{Var}(X)=\sum_{x_i}\left( x_{i}-\operatorname{E}(X)\right)^{2}\cdot p_X(x_{i})=\operatorname{E}(X^{2})-[\operatorname{E}(X)]^{2}\) .
    Mit \(\operatorname{E}(X^{2})=\sum_{x_i}x_{i}^{2}\cdot p_X(x_{i})=0^{2}\cdot\dfrac{1}{9}+1^{2}\cdot\dfrac{2}{9}+2^{2}\cdot\dfrac{3}{9}+3^{2}\cdot\dfrac{2}{9}+4^{2}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{16}{3}\) erhält man insgesamt \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{16}{3}-2^{2}=\dfrac{4}{3}\).
  2. Ist \(X\) eine (um ihren Erwartungswert) symmetrische Zufallsvariable?
    Begründen Sie Ihre Antwort.
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    \(X\) ist symmetrisch um \(\operatorname{E}(X)=2\) verteilt, denn es gilt \[\begin{align*} p_X(0) = 1/9 = p_X(4) = p_X(2\cdot2-0), & & p_X(1) = 2/9 = p_X(3) = p_X(2\cdot2-1), \\ p_X(2) = 3/9 = p_X(2) = p_X(2\cdot2-2), & & p_X(3) = 2/9 = p_X(1) = p_X(2\cdot2-3), \\ p_X(4) = 1/9 = p_X(0) = p_X(2\cdot2-4), & & \end{align*}\] also insgesamt \(p_X(x_i)=p_X(2\cdot2-x_i)\) für alle \(x_i\in T(X)=\{0,1,2,3,4\}\).
  3. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \(Y:=2X-4\).
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    \(\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(2X-4)=2\cdot\operatorname{E}(X)-4=2\cdot 2-4=0\)
    \(\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(2X-4)=2^{2} \cdot \operatorname{Var}(X)=4\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}\)

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Aufgabe 39

Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen \(X\) sei durch die folgende Dichtefunktion gegeben: \[ f_{X}(x)=\left\{\begin{array}[c]{cl} \frac{1}{4} x -2 & \text{für}\ 8 \le x < 10\\[0.3cm] -\frac{1}{4} x +3 & \text{für}\ 10 \le x \le 12\\[0.3cm] 0 & \text{sonst} \end{array}\right. \]

  1. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion \(F_X\) von \(X\).
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    Verteilungsfunktion von \(X\): Fallunterscheidung nach \(x\):
    • \(x \le 8\): \(F_X(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x \underbrace{f_X(t)}_{=0}dt=0\)
    • \(8 < x \le 10\): Einsetzen und Integrieren liefert: \[\begin{align*} F_X(x) &= \underbrace{\int_{-\infty}^{ 8} f_X(t)dt}_{=F_X( 8)} + \int_{ 8}^x \left( \frac{1}{4} t -2 \right)dt = 0 + \left[ \frac{1}{8} t^{2} -2 t\right]_{ 8}^x\\ &= 0 +\frac{1}{8} x^{2} -2 x - \left( 8-16\right) = \frac{1}{8} x^{2} -2 x+8 \end{align*}\]
    • \(10 < x \le 12\): Einsetzen und Integrieren liefert: \[\begin{align*} F_X(x) &= \underbrace{\int_{-\infty}^{ 10} f_X(t)dt}_{=F_X( 10)} + \int_{ 10}^x \left(-\frac{1}{4} t +3 \right)dt = \frac{1}{2} + \left[-\frac{1}{8} t^{2} +3 t\right]_{ 10}^x\\ &= \frac{1}{2} -\frac{1}{8} x^{2} +3 x - \left(-\frac{25}{2} +30\right) = -\frac{1}{8} x^{2} +3 x-17 \end{align*}\]
    • \(x > 12\): \(F_X(x)=\displaystyle\underbrace{F_X( 12)}_{=1} + \int_{ 12}^x \underbrace{f_X(t)}_{=0}dt=1\)
    Insgesamt erhält man die Verteilungsfunktion \[ F_{X}(x)=\left\{\begin{array}[c]{cl} 0 & \text{für}\ x \le 8\\[0.3cm] \frac{1}{8} x^{2} -2 x +8 & \text{für}\ 8 < x \le 10\\[0.3cm] -\frac{1}{8} x^{2} +3 x -17 & \text{für}\ 10 < x \le 12\\[0.3cm] 1 & \text{für}\ x > 12 \end{array}\right. \]
  2. Berechnen Sie \(P\left(\left\{X < 9 \right\}\right)\) und \(P\left(\left\{ 9 \leq X \leq 11 \right\}\right)\).
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    Man erhält mit der Verteilungsfunktion \(F_X\) der stetigen Zufallsvariablen \(X\):

    • \(P\left(\left\{X < 9 \right\}\right) \stackrel{X\ \text{stetig}}{=} F_{X}( 9) = \frac{1}{8} \cdot 9^{2} -2 \cdot 9 +8 = \frac{1}{8}\)
    • \(P\left(\left\{ 9 \leq X \leq 11 \right\}\right) \stackrel{X\ \text{stetig}}{=} F_{X}( 11) - F_{X}( 9) = -\frac{1}{8} \cdot 11^{2} +3 \cdot 11 -17 - \left( \frac{1}{8} \cdot 9^{2} -2 \cdot 9 +8 \right) = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\)
  3. Bestimmen Sie den Erwartungswert \(\operatorname{E}(X)\) und die Varianz \(\operatorname{Var}(X)\).
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    Man erhält den Erwartungswert \[\begin{align*} \operatorname{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x)dx = \int_{ 8}^{ 10} x\cdot\left( \frac{1}{4} x -2 \right)dx + \int_{ 10}^{ 12} x\cdot\left(-\frac{1}{4} x +3 \right)dx\\ &= \int_{ 8}^{ 10} \left( \frac{1}{4} x^{2} -2 x\right)dx + \int_{ 10}^{ 12} \left(-\frac{1}{4} x^{2} +3 x\right)dx\\ &= \left[ \frac{1}{12} x^{3} - x^{2}\right]_{ 8}^{ 10} + \left[-\frac{1}{12} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2}\right]_{ 10}^{ 12}\\ &= \left( \frac{1}{12} \cdot 10^{3} - 10^{2}-\left( \frac{1}{12} \cdot 8^{3} - 8^{2}\right)\right) + \left(-\frac{1}{12} \cdot 12^{3} +\frac{3}{2} \cdot 12^{2}-\left(-\frac{1}{12} \cdot 10^{3} +\frac{3}{2} \cdot 10^{2}\right)\right)\\ &= \left(-\frac{50}{3}+21.\overline{3}\right) + \left( 72-66.\overline{6}\right) = 10 \end{align*}\] und mit \[\begin{align*} \operatorname{E}(X^{2}) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\cdot f_X(x)dx = \int_{ 8}^{ 10} x^{2}\cdot\left( \frac{1}{4} x -2 \right)dx + \int_{ 10}^{ 12} x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{4} x +3 \right)dx\\ &= \int_{ 8}^{ 10} \left( \frac{1}{4} x^{3} -2 x^{2}\right)dx + \int_{ 10}^{ 12} \left(-\frac{1}{4} x^{3} +3 x^{2}\right)dx\\ &= \left[ \frac{1}{16} x^{4} -\frac{2}{3} x^{3}\right]_{ 8}^{ 10} + \left[-\frac{1}{16} x^{4} + x^{3}\right]_{ 10}^{ 12}\\ &= \left( \frac{1}{16} \cdot 10^{4} -\frac{2}{3} \cdot 10^{3}-\left( \frac{1}{16} \cdot 8^{4} -\frac{2}{3} \cdot 8^{3}\right)\right) + \left(-\frac{1}{16} \cdot 12^{4} + 12^{3}-\left(-\frac{1}{16} \cdot 10^{4} + 10^{3}\right)\right)\\ &= \left(-41.\overline{6}+85.\overline{3}\right) + \left( 432 -375\right) = \frac{302}{3} \end{align*}\] die Varianz \[ \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2)-(\operatorname{E}(X))^2 = \frac{302}{3} - \left( 10\right)^2 = \frac{2}{3} \] von \(X\).

Erklär-Video zu Aufgabe 39

Aufgabe 40

Die Zufallsvariable \(X\) besitze die folgende Dichtefunktion: \[ f_{X}(x)=\left\{ \begin{array} [c]{cl}% \dfrac{3}{32000}x\cdot(40-x) & \text{für}\ 0\leq x\leq40\\[0.2cm] 0 & \text{sonst}% \end{array} \right. \]

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert \(\operatorname{E}(X)\) und die Varianz \(\operatorname{Var}(X)\).
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    \(\displaystyle\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_{X}(x)dx=\dfrac{3}{32000}\int_{0}^{40}x\cdot x(40-x)dx=\dfrac{3}{32000}\cdot\left[\dfrac{40x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}\right] _{0}^{40}=20\)
    \(\displaystyle\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(X^{2})-[\operatorname{E}(X)]^{2}\)
    \(\displaystyle\operatorname{E}(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}\cdot f_{X}(x)dx=\dfrac{3}{32000}\int_{0}^{40}x^{2}\cdot x(40-x)dx=\dfrac{3}{32000}\cdot\left[ \dfrac{40x^{4}}{4}-\dfrac{x^{5}}{5}\right] _{0}^{40}=480\)
    Damit gilt:
    \(\displaystyle\operatorname{Var}(X)=480-20^{2}=80\)
  2. Ist die Zufallsvariable \(X\) symmetrisch um ihren Erwartungswert verteilt?
    Begründen Sie Ihre Antwort.
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    Es gilt für alle \(x\in\mathbb{R}\) \[\begin{eqnarray*} f_X(2\cdot20 - x) & = & \left\{ \begin{array} [c]{cl}% \dfrac{3}{32000}(40-x)\cdot(40-(40-x)) & \text{für}\ 0\leq (40-x) \leq40\\[0.2cm] 0 & \text{sonst}% \end{array} \right. \\[0.4cm] & = & \left\{ \begin{array} [c]{cl}% \dfrac{3}{32000}(40-x)\cdot x & \text{für}\ 40\geq x\geq 0\\[0.4cm] 0 & \text{sonst} \end{array} \right. \\ & = & f_X(x)\ , \end{eqnarray*}\] also ist \(f_X\) eine Dichtefunktion von \(X\) mit \(f_X(x) = f_X(2\cdot\operatorname{E}(X)-x) = f_X(40-x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) und damit \(X\) symmetrisch um \(\operatorname{E}(X)=20\) verteilt.
  3. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von \(Y:=-4X+2\).
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    \(\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(-4X+2)=-4\cdot\operatorname{E}(X)+2=-4\cdot 20+2=-78\)
    \(\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(-4X+2)=(-4)^{2} \cdot\operatorname{Var}(X)=16\cdot80=1280\)

Erklär-Video zu Aufgabe 40

Aufgabe 41

Gegeben sei die Verteilungsfunktion \(F_X\) der Zufallsvariablen \(X\) wie folgt: \[ F_{X}(x)=\left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.6}% \begin{array} [c]{lll}% 0 & \text{für} & x<-3\\[0.2cm] \dfrac{1}{54}x^{3}-\dfrac{1}{216}x^{4}+\dfrac{7}{8} & \text{für} & -3\leq x<3\\[0.2cm] 1 & \text{für} & x\geq3 \end{array} \right. \]

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen \(Y:=\dfrac {1}{X}\).
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    Eine Dichtefunktion \(f_X\) von \(X\) erhält man durch Ableiten von \(F_X\) als \[ f_{X}(x)=F_{X}'(x)=\left\{ \begin{array} [c]{lll}% \dfrac{1}{54}(3x^{2}-x^{3}) & \text{für} & -3\leq x<3\\[0.4cm] 0 & \text{sonst} & \end{array} \right.\ . \] Damit gilt mit \(Y:=\dfrac{1}{X}=:G(X)\): \[\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(Y) & = & \operatorname{E}(G(X)) = \operatorname{E}(\frac{1}{X}) = \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x}\cdot f_{X}(x)dx=\int_{-3}^{3}\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{54}(3x^{2}-x^{3})dx \\[0.2cm] & = & \dfrac{1}{54}\cdot\int_{-3}^{3}(3x-x^{2})dx =\dfrac{1}{54}\left[\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 \right]_{-3}^{3} =\dfrac{1}{54} \left(\frac{27}{2}-9-(\frac{27}{2}+9)\right) =-\dfrac{1}{3} \end{eqnarray*}\]
  2. Berechnen Sie die Varianz der Zufallsvariablen \(Y=\dfrac{1}{X}\).
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    Es gilt: \[\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(Y^{2}) & = & \operatorname{E}((G(X))^2) = \operatorname{E}(\frac{1}{X^2}) = \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\cdot f_{X}(x)dx=\int_{-3}^{3}\dfrac{1}{x^{2}}\cdot\dfrac{1}{54}(3x^{2}-x^{3})dx \\[0.2cm] & = & \dfrac{1}{54}\cdot\int_{-3}^{3}(3-x)dx = \dfrac{1}{54} \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{-3}^3 = \dfrac{1}{54} \left( 9 - \frac{9}{2} -(-9 - \frac{9}{2}) \right) = \dfrac{1}{3} \\[0.2cm] \Rightarrow \operatorname{Var}(Y) & = & \operatorname{E}(Y^{2})-(\operatorname{E}(Y))^{2}=\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{2}{9} \end{eqnarray*}\]

Erklär-Video zu Aufgabe 41