Übungsblatt 9

Aufgabe 42

Es sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion \[ F_{X}(x)=\left\{ \begin{array} [c]{ccc}% 0 & \text{für} & x<0\\ 0.01 & \text{für} & 0\leq x<1\\ 0.06 & \text{für} & 1\leq x<2\\ 0.15 & \text{für} & 2\leq x<3\\ 0.22 & \text{für} & 3\leq x<4\\ 0.32 & \text{für} & 4\leq x<5\\ 0.44 & \text{für} & 5\leq x<6\\ 0.56 & \text{für} & 6\leq x<7\\ 0.75 & \text{für} & 7\leq x<8\\ 0.88 & \text{für} & 8\leq x<9\\ 0.95 & \text{für} & 9\leq x<10\\ 1.00 & \text{für} & x\geq10 \end{array} \right. \] Bestimmen Sie alle Mediane, untere sowie obere Quartile der Zufallsvariablen \(X\).

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Besitzt die Zufallsvariable \(X\) die Verteilungsfunktion \(F_{X}\), dann ist der Wert \(x_p\in\mathbb{R}\) genau dann ein \(p\)-Quantil, wenn gilt \[\begin{equation}\label{Quantil} F_{X}(x_p-0)\leq p\leq F_{X}(x_p)\ . \end{equation}\]

  • Die Mediane \(x_{0.5}\) sind gleich den \(50\%-\)Quantilen. Damit ist \(x_{0.5}=6\) der einzige Median, denn die obige Ungleichungskette ist für \(p=0.5\) nur für \(x_p=6\) erfüllt, es gilt genauer:
    \(F_{X}(6-0)=0.44\leq0.5\leq F_{X}(6)=0.56.\)
  • Die unteren Quartile entsprechen den \(25\%-\)Quantilen. Damit ist \(x_{0.25}=4\) das einzige untere Quartil, denn die obige Ungleichungskette ist für \(p=0.25\) nur für \(x_p=4\) erfüllt, es gilt genauer:
    \(F_{X}(4-0)=0.22\leq0.25\leq F_{X}(4)=0.32.\)
  • Die oberen Quartile entsprechen den \(75\%-\)Quantilen. Hier sind alle Werte \(x_{0.75}\in[7,8]\) obere Quartile, denn es gilt
    • für \(x_{0.75}=7\): \(F_{X}(7-0)=0.56\leq0.75\leq F_{X}(7)=0.75\),
    • für \(x_{0.75}\in(7,8)\): \(F_{X}(x_p-0)=0.75\leq0.75\leq F_{X}(x_p)=0.75\).
    • für \(x_{0.75}=8\): \(F_{X}(8-0)=0.75\leq0.75\leq F_{X}(8)=0.88\).
    Mit der in der Vorlesung vorgestellten eindeutigen Festlegung \(x_p := \min\{x\,|\,F_X(x)\ge p\}\) ergäbe sich das obere Quartil zu \(x_{0.75}=7\).

Alternativ und schneller über die gleichbedeutende Charakterisierung:

\(p\)-Quantile \(x_p\) sind die Stellen, an denen die Verteilungsfunktion \(F_X\) den Wert \(p\) annimmt oder erstmals überschreitet.

Damit können alle Quantile bei diskreten Zufallsvariablen einfach und ohne Rechnung an der Verteilungsfunktion (mit den obigen Ergebnissen) abgelesen werden.

Erklär-Video zu Aufgabe 42

Aufgabe 43

Gegeben sei die durch die Dichtefunktion \[ f_{X}(x)=\left\{ \begin{array} [c]{cl}% \frac{1}{4}x-2 & \text{für}\ 8\leq x<10\\[0.4cm] -\frac{1}{4}x+3 & \text{für}\ 10\leq x\leq12\\[0.4cm] 0 & \text{sonst} \end{array} \right. \] definierte stetige Zufallsvariable \(X\) aus Aufgabe 39.
Bestimmen Sie einen Median, ein unteres sowie ein oberes Quartil der Zufallsvariablen \(X\).

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Aus Aufgabe 39: Verteilungsfunktion \(F_X\): \[ F_{X}(x)=\left\{ \begin{array} [c]{ccc}% 0 & \text{für} & x<8\\[0.1cm] \dfrac{1}{8}x^{2}-2x+8 & \text{für} & 8\leq x<10\\[0.3cm] 3x-\dfrac{1}{8}x^{2}-17 & \text{für} & 10\leq x<12\\[0.4cm] 1 & \text{für} & x\geq12 \end{array} \right. \] \(X\) ist stetig, also gilt für \(p\)-Quantile stets \(F_X(x_p)=p\).
Zur Bestimmung von \(p\)-Quantilen bei abschnittsweise definierten Verteilungsfunktionen: Zunächst feststellen, in welchen Abschnitten jeweils \(F_X(x_p)=p\) erfüllt sein kann.
Wegen der Monotonie von Verteilungsfunktionen genügt die Auswertung an den “Übergängen”, hier 8, 10, 12.
Dabei erhält man: \(F_X(8)=0, F_X(10)=0.5, F_X(12)=1\).

  • Mediane stimmen mit \(0.5=50\%\)-Quantilen überein.
    Wegen \(F_X(10)=0.5\) hat man mit \(x_{0.5}=10\) also bereits einen Median gefunden!
  • Untere Quartile stimmen mit \(0.25=25\%\)-Quantilen überein.
    Wegen \(F_X(8)=0\) und \(F_X(10)=0.5\) müssen also alle unteren Quartile \(x_{0.25}\) im Intervall \((8,10)\) liegen.
    Man erhält \[\begin{eqnarray*} F_X(x_{0.25}) & \stackrel{!}{=} & 0.25 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}x_{0.25}^{2}-2x_{0.25}+8 & = & 0.25 \\ \Leftrightarrow x_{0.25}^{2}-16x_{0.25}+62 & = & 0 \end{eqnarray*}\] und daraus die beiden Lösungen \(x_{0.25}=8+\sqrt{2}=9.41421\) und \(x_{0.25}=8-\sqrt{2}=6.58579\), von denen allerdings nur \(9.41421\) im Intervall \((8,10)\) liegt, also ist das (einzige) untere Quartil \(x_{0.25}=9.41421\).
  • Obere Quartile stimmen mit \(0.75=75\%\)-Quantilen überein.
    Wegen \(F_X(10)=0.5\) und \(F_X(12)=1\) müssen also alle oberen Quartile \(x_{0.75}\) im Intervall \((10,12)\) liegen.
    Man erhält \[\begin{eqnarray*} F_X(x_{0.75}) & \stackrel{!}{=} & 0.75 \\ \Leftrightarrow 3x_{0.75}-\dfrac{1}{8}x_{0.75}^{2}-17 & = & 0.75 \\ \Leftrightarrow x_{0.75}^{2}-24x_{0.75}+142 & = & 0 \end{eqnarray*}\] und daraus die beiden Lösungen \(x_{0.75}=12+\sqrt{2}=13.4142\) und \(x_{0.75}=12-\sqrt{2}=10.5858\), von denen allerdings nur \(10.5858\) im Intervall \((10,12)\) liegt, also ist das (einzige) obere Quartil \(x_{0.75}=10.5858\).

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Aufgabe 44

Ein Testbogen setzt sich aus \(10\) Fragen zusammen. Zu jeder Frage sind jeweils \(5\) Antwortalternativen angegeben, unter denen genau eine richtig ist. Es werde angenommen, dass ein unvorbereiteter Prüfling jeweils eine der fünf Antworten zufällig auswählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

  1. genau eine Frage richtig zu beantworten?
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    Es sei \(X\) die Anzahl der richtig beantworteten Fragen; \(X\) entsteht als Summe von \(10\) unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit identischer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{5}=0.2\). Damit ist \(X\) binomialverteilt mit Parameter \(n=10\) und \(p=0.2\), in Zeichen \(X\sim B(10,0.2)\), und es gilt: \[ p_X(x) = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle\binom{10}{x} \cdot 0.2^x \cdot 0.8^{10-x} & \text{für}\ x\in\{0,1,\ldots,10\} \\[0.35cm] 0 & \text{sonst} \end{array}\right. \] Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \[ P\{X=1\} = {10 \choose 1} \cdot 0.2^1 \cdot 0.8^9 = 0.2684\ . \]
  2. mindestens 2 Fragen richtig zu beantworten?
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    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \[\begin{align*} P\{X\ge 2\} &= 1 - P\{X< 2\} \\ &= 1 - \left(p_X(0) + p_X(1)\right) \\ &= 1 - \left({10 \choose 0} \cdot 0.2^0 \cdot 0.8^{10} + {10 \choose 1} \cdot 0.2^1 \cdot 0.8^9 \right) \\ &= 1 - \left(0.1074 + 0.2684 \right) \\ &= 0.6242 \end{align*}\]
  3. höchstens 7 Fragen richtig zu beantworten?
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    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \[\begin{align*} P\{X\le 7\} &= 1- P\{X > 7\} \\ &= 1 - \left(p_X(8) + p_X(9) + p_X(10)\right) \\ &= 1 - \left({10 \choose 8} \cdot 0.2^8 \cdot 0.8^{2} + {10 \choose 9} \cdot 0.2^9 \cdot 0.8^1 +{10 \choose 10} \cdot 0.2^{10} \cdot 0.8^{0} \right) \\ &= 1 - \left(0.00007373 + 0.000004096 + 0.0000001024 \right) \\ &= 0.9999 \end{align*}\]

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Aufgabe 45

Ein Unternehmer weiß aus Erfahrung, dass im Durchschnitt pro Tag \(0.2\%\) seiner dreihundertköpfigen Belegschaft aus familiären Gründen abwesend ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag

  1. kein Arbeitnehmer aus familiären Gründen fehlt?
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    Im Prinzip ist die Anzahl der fehlenden Arbeitnehmer (bei geeigneter Unabhängigkeitsannahme) binomialverteilt mit Parameter \(n=300\) und \(p=0.002\). Es gilt \(n\cdot p=300\cdot 0.002 = 0.6\), damit sind die “Faustregeln” \[ n\ge 50, \qquad p\le 0.1, \qquad n\cdot p\le 10 \] erfüllt, die in der Aufgabenstellung geforderte Approximation der Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung mit Parameter \(\lambda=n\cdot p=0.6\) ist also auch angebracht. Im Folgenden sei \(X\) also eine mit Parameter \(\lambda=0.6\) Poisson-verteilte Zufallsvariable, in Zeichen \(X\sim\operatorname{Pois}(0.6)\).
    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
    \(P\{X=0\}= \frac{0.6^0}{0!}e^{-0.6} = e^{-0.6} = 0.5488\)
    Zur Information (nicht Bestandteil der Aufgabe):
    Exakte Wahrscheinlichkeit: \(0.5485\)
  2. höchstens zwei Arbeitnehmer aus familiären Gründen fehlen?
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    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
    \(P\{X\le 2\}= \sum_{i=0}^2 \frac{0.6^i}{i!}e^{-0.6} =e^{-0.6}\cdot\left(\frac{0.6^0}{0!}+\frac{0.6^1}{1!}+\frac{0.6^2}{2!}\right) =0.5488 \cdot (1+0.6+0.18) =0.9769\)
    Zur Information (nicht Bestandteil der Aufgabe): Exakte Wahrscheinlichkeit: \(0.977\)
  3. mindestens zwei Arbeitnehmer aus familiären Gründen fehlen?
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    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
    \(P\{X\ge 2\}= 1-P\{X\le 1\} = 1-\sum_{i=0}^1 \frac{0.6^i}{i!}e^{-0.6} =1-e^{-0.6}\cdot\left(\frac{0.6^0}{0!}+\frac{0.6^1}{1!}\right)\)
    \(=1-0.5488 \cdot (1+0.6) =0.1219\)
    Zur Information (nicht Bestandteil der Aufgabe): Exakte Wahrscheinlichkeit: \(0.1218\)

Lösen Sie die Aufgabe approximativ mittels Poissonverteilung!

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Aufgabe 46

Die Reparaturzeit fü einen Kühlschrank (Angaben in Stunden [h]) lasse sich als eine exponentialverteilte Zufallsvariable \(X\) mit der Varianz \(0.0625\) [h]\(^{2}\) auffassen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert eine Kühlschrankreparatur

  1. länger als eine Stunde?
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    Wegen \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}=0.0625=\frac{1}{16}\) gilt \(\lambda^2=16\) und damit \(\lambda=4\).
    \(\Rightarrow F_{X}(x)=F_{\operatorname{Exp}(4)}(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text{für} & x<0 \\ 1-e^{-4x} & \text{für} & x\geq 0 \end{array}\right.\)
    Damit erhält man:
    \(P\{X>1\}=1-P\{X\leq1\}=1-F_{X}(1)=1-(1-e^{-4})=e^{-4}=0.0183\)
  2. weniger als eine halbe Stunde?
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    \(P\{X<0.5\}=F_{X}(0.5)=1-e^{-2}=0.8647\)
  3. Wie lange dauert im Durchschnitt eine Kühlschrankreparatur?
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    \(\operatorname{E}(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{4}=0.25\) [h] bzw. \(15\) Minuten.

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Aufgabe 47

Die Analyse der Tagesumsätze mittlerer und kleiner Geschäfte für Obst und Gemüse ergab, dass der Tagesumsatz \(X\) (Angaben in €) dieser Geschäfte als eine normalverteilte Zufallsvariable aufgefasst werden kann, wobei \(X\sim N(750,300^2)\) gilt.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Tagesumsatz 900€ übersteigt?
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    Es gilt: \(X\sim N(750,300^2) \Longrightarrow F_X(x) = \Phi\left(\displaystyle\frac{x-750}{300}\right)\)
    \(P\{X>900\}=1-P\{X\leq900\}=1-F_{X}(900)=1-\Phi\left( \dfrac{900-750}{300}\right)\)
    \(=1-\Phi(0.5)=1-0.6915=0.3085\)
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Tagesumsatz zwischen 300€ und 600€ liegt?
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    \(P\{300<X\leq600\}=F_{X}(600)-F_{X}(300)=\Phi\left( \dfrac{600-750}{300}\right) -\Phi\left( \dfrac{300-750}{300}\right)=\Phi(-0.5)-\Phi(-1.5)\)
    \(=1-\Phi(0.5)-(1-\Phi(1.5))=\Phi(1.5)-\Phi(0.5)=0.9332-0.6915=0.2417\)
  3. Ermitteln Sie das obere Umsatzquartil.
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    Gesucht: \(x_{0.75}\) mit \(P\{X\leq x_{0.75}\}=F_{X}(x_{0.75})=\Phi\left(\dfrac{x_{0.75}-750}{300}\right)=0.75\)
    \(\Rightarrow\dfrac{x_{0.75}-750}{300}=\Phi^{-1}(0.75)\approx 0.675\Rightarrow x_{0.75}\approx0.675\cdot300+750=952.5\)
  4. Ermitteln Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Bereich, in dem der Tagesumsatz mit einer Wahrscheinlichkeit von \(95\%\) liegt.
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    Gesucht: \(a>0\) mit \[\begin{eqnarray*} P\{\mu-a\leq X\leq\mu+a\} & = & P\{750-a\leq X\leq750+a\}= F_{X}(750+a)-F_{X}(750-a)\\ & = & \Phi\left( \dfrac{750+a-750}{300}\right) -\Phi\left( \dfrac{750-a-750}{300}\right) \\ & = & \Phi\left( \dfrac{a}{300}\right) -\Phi\left( -\dfrac{a}{300}\right) =2\cdot\Phi\left( \dfrac{a}{300}\right) -1=0.95 \\ \Leftrightarrow \Phi\left( \dfrac{a}{300}\right) & = & 0.975\\ \Rightarrow\dfrac{a}{300} & = & \Phi^{-1}(0.975)=1.96\\ \Rightarrow a & = & 1.96\cdot300=588\ . \end{eqnarray*}\] Damit gilt \(P\{750-588\leq X\leq750+588\}=P\{162\leq X\leq1338\}=0.95\).

Erklär-Video zu Aufgabe 47